싫어하는 학생이 가장 많은 과목  

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  여러 과목을 배우다 보면 좋아하는 과목이 있을 수 있고, 싫어하는 과목이

있을 수 있다. 
  “저는 미술이 좋아요.”
  “저는 국어가 좋아요.”
  “전 영어에요.”
  이렇게 많은 학생들이 좋아하는 과목은 다양하다. 그런 반면에 싫어하는 과목이

있다면 거의 대답이 한 가지 과목으로 모여진다.
  “수학이 가장 싫어요.”
  이러한 경향을 좀 더 자세히 들여다 보면, ‘수학이 좋다’라는 대답은 공부를 잘하는

 학생들에게서 많이 나오고 수학이 싫다는 대답은 그 반대의 경우에 해당되는

경향이 있다.

  또한, 수학은 잘 못하고 다른 과목은 잘하는 학생은 많지만, 수학을 잘하는데

다른 과목을 못하는 학생은 거의 없다.
  이러한 점들을 생각해보면, 수학을 잘하는 것이 전 과목의 공부를 결정짓는다고 

해도 크게 틀린 말은 아닐 것이다.
  “그러면 어떻게 해야 이렇게 중요한 수학을 잘할 수 있을까?”
  답은 간단하다. 다른 과목과 마찬가지로 수학도 재미있어 해야 잘하게 될 것이다.
  “그런데, 수학이 재미있을 수 있을까?”
  원래부터 수학을 재미있어 하던 학생이라면 몰라도 수학을 싫어하다가 갑자기

재미있을 수는 없을 것이다. 또, 제 1권에서도 공부가 재미있기를 기대하지는

말자고 했었다.
  그러면, 수학이 재미있기를 기대하기 보다는 왜 싫어할까라는 점을 살펴보고

최소한 싫어하지는 않게 만드는 것이 필요하다.

  “수학은 복잡하다.”

  수학을 싫어하게 되는 이유는 무엇일까?
  그 중의 하나는 “복잡하다”는 느낌일 수 있다.
  수의 체계에서 유리수, 무리수, 허수, 복소수 등등 하며, 방정식과 함수, 미적분에다가,

도형은 매 학년마다 나오면서 점점 복잡한 내용을 끝없이 배워야할 것 같다.
  앞에서, 복잡한 자연과 사회현상을 간단히 만들어주는 것이 수학이라고 했지만,

대개의 사람들에게 수학은 오히려 단순한 현실도 복잡하게  만드는 것처럼 보이는

것이 사실이다. ‘회전 달걀의 패러독스’ 같은 경우가 그 극단적인 예라고 할 수 있을텐데,

이런 사례들을 직, 간접적으로 접하면서 ‘도대체 수학자들은 뭐하러 저런 것에 매달리나,

역시 수학은 필요 이상으로 복잡한거야’라는 생각을 하게 된다.

<회전 달걀의 패러독스>

  껍데기가 깨지지 않은 삶은 달걀을 옆으로 뉘어 놓고 돌리면 똑바로 일어서는데,

이 현상은 무게중심이 위로 올라가기 때문에 생기는 것으로 중력의 법칙에 어긋난다.

  즉 무게중심이 아래로 향하는 중력의 법칙대로라면, 달걀을 돌리더라도 그 달걀은

똑바로 서지 않고 그대로 누운 채로 돌아야한다. 그러나 달걀은 누워 있지 않고 오히려

똑바로 일어서는데, 이와 같이 달걀이 일어서는 현상을 '회전달걀의 패러독스(역설)'라고 한다.

   그동안 물리학자들이나 수학자들은 300여 년 간 삶은 달걀이 서는 이유를 설명하기

위해 노력하였으나, 누구도 해명하지 못하였다.

 그러다 2002년 일본과 영국의 교수들이 과학적 방정식을 이용해 이 수수께끼를 풀었다.
 그들은 책상과 달걀의 각도, 마찰력과 회전속도를 변수로 하는 16개의 수학 방정식을 세우고,

이 방정식을 이용해 일정한 속도 이상으로 회전하던 달걀은 속도가 줄어들면 반드시

일어설 수밖에 없다는 사실을 증명한 것이다.

  도대체 달걀이 누워서 돌다가 똑바로 서서 돌게 되는 현상에 16개의 방정식이 필요한 것인지

잘 이해되지 않는다.
(필자 개인적으로는 위의 증명에서 납득할 수 없는 부분이 있는데, 그 증명에 따르면

마찰력이 없는 바닥에서는 달걀이 서지 않는다고 했지만, 실제로 식탁 유리 위에서

돌려 보면 잘 선다. 그리고 이 현상은, 원리를 알지는 못했지만, 팽이치기를 할 때

활용되는데 - 팽이 모양은 달걀 반쪽이다 - 팽이도 얼음 위에서 지친다.)

“수학은 어렵다”

  수학을 싫어하는 또 하나의 이유로 생각해 볼 수 있는 것은 “어려워서”일 수도

있을 것이다. 하지만, 이 대답은 충분하지 않다. 왜냐하면, 쉽다, 어렵다는 것은

상대적인 개념이고, 어려운 과목은 수학 외에도 있을 수 있기 때문이다.(예를 들어,

필자에게는 사회 과목이 무척이나 어려워 보인다. 아직 사회경험이 없는 나이의

학생들이 이해하지 못하는 내용을 달달달 외우기부터 해야 하기 때문이다.)

  또한 많은 공식을 외워야하기 때문이라든지 수학적 감각이 부족하다든지 등

개인적으로 이유가 다 다를 수도 있다.

“문제를 못 풀기 때문에 수학이 싫은 것이다.”

  수학이 복잡하고, 어렵고, 공식을 외워야하고... 등등 수학을 싫어하게 되는

여러 가지 이유를 포함하는, 궁극적인 원인은 무엇일까?
  그것은 수학을 싫어하는 대부분의 학생들이 수학문제를 못 풀거나 틀리기 때문이다.
  어찌됐든 문제를 잘 풀어서 성적이 좋게 된다면 최소한 싫어하지는 않게 될 것이다.

  국어나 도덕 과목을 싫어하는 학생은 드물지만, 이 과목들도 조금 공부를 등한시했을 때

문제를 풀어볼 엄두가 안 난다든지, 개인간에 점수차가 크다면 싫어하는 학생들이 많았을

것이다. (앞의 ‘국어는 뜨거운 감자’)
  이런 점에 착안하면 여러 가지 공부방법을 생각할 수 있지 않을까?
  수학을 싫어하지 않고 공부하는 방법으로서는 아래와 같은 것들이 있다.

수학을 싫어하지 않게 되는 방법

  [1] 틀린 문제를 부각시키지 않는다.

  수학이 싫은 이유는 답이 틀리기 때문

  수학이 싫은 가장 큰 이유는 문제 풀이 결과가 틀려서이다.

  따라서, 이미지 트레이닝 방법을 사용하면 상황이 나아질 것이다.

  수학 시험지를 채점할 때 틀린 문항을 ‘X’ 또는‘ /’ 로 표시하지 말자.

동그라미 대신 찍찍 틀렸다는 표시를 하면 수학에 대한 이미지가 더욱 안좋아질 것이고,

또 마음도 안좋아진다. 그러니 이미지부터 바꿔서 “이것은 틀렸다, 또 틀렸다,

수학문제를 풀면 틀린다.""라는 일종의 강박관념부터 없애야 한다.

  틀린 문제보다 맞은 문제가 더 중요하다.

  틀린 문제를 점검해 보고 다음에 틀리지 않도록 대비하는 것은 어느 과목이나

필요한 과정이지만, 수학에서는 그 못지 않게 맞은 문제가 더 중요하다.

  수학 실력은 자신이 풀어 본 문제를 다시 풀 때 정확하게 이해해서 머리에 남게 된다.

  이런 개념에 따른 공부 방법이 바로 아래의 [2] Doucle Circle 이론인데, 그 이론의

첫 단계도 바로 틀린 문항을 아무 표시하지 말고 그냥 두라는 것이다.
  틀리거나 못 푼 문제는 풀어보면 된다. 그러니 틀렸다는 결과를 굳이 강조하지 말라.

  사실, 이 방법은 수학 뿐 아니라 모든 과목에서 적용할 만한 방법이다.

하지만, 아쉽게도 학교에서 선생님들이 시험지를 채점한 것을 보면,

마치 틀린 문제에 찍~하고 사선을 긋는 데 희열이라도 느낀 것 같은 답안지를

보게 된다. ^ ^ ;

  앞에서 나왔던 '피그말리온 효과'(칭찬하면 더 좋은 결과를 얻는다)의 측면에서

보더라도 참으로 아쉬운 것이다.

  틀린 문제를 부각시키지 않는 이 방법이 별 효과가 없다는 판단이라도 하고서

그런 것이라면 차라리 다행일텐데 말이다.

  [2] Double Circle

  수학문제를 한 번 풀어 해법을 아는 상태에서 다시 한 번 풀면 뇌가 확신을 가진다.

  그러니 스스로 풀었던 문제는 꼭 다시 풀어 보아야 한다. 그래야 완전히 자기 것이 된다.

맞았다는 동그라미, 즉 Circle을 두 번 그린 문제만이 자기 것이 되었다는 것이다.
  스스로 풀지 못했던 문제는 답을 알아 풀어본 다음, 다음에 다시 한번 꼭 풀어야한다. 

Double Circle 방법을 따르면 수학 성적은 확실히 올라갈 것이다.

  그런데, 이와 관련해서 꼭 지킬 사항이 있다. 그것은 문제를 풀고 나면 반드시 답을

확인하라는 것이다.
  배고플 때 음식을 먹어주는 것이 뇌에 영양을 주는 것처럼 두뇌가 수학에 흠뻑 취해

있을 때 답을 알게 되어야 실력으로 남게 된다. 시험을 치고 나면 성적에 대한 궁금증

때문에 친구들과 답을 맞춰보곤 하는데, 수학의 경우는 단순히 답을 맞춰보는 것에서

끝나지 말고 정확한 풀이를 아는 것이 필요하다.

  혼자 공부할 때는 문제를 푼 다음에 반드시 답을 확인해야 한다.

  [3] 공식은 편법을 써서라도 외워라.

  수학공부에서도 암기가 필요한 부분이 있다. 그것은 바로 공식을 외우는 것이다.
  공식은 무슨 수를 써서라도 외우도록 해야 한다. 이 말은 무조건 외우라는 것은 아니다.

  공식을 외우는 것은 다른 암기와 마찬가지로 이해를 했을 때 더 잘 외워지니 말이다.

하지만, 이해가 안되는 경우에는 그 공식을 이해하는 노력보다는 편법으로라도

외우는 것이 더 중요하다.
  책에 나오는 설명을 보고 그 원리를 한 번 이해한 다음에는 무조건 외워야 한다.

  공식 없이는 수학문제를 풀 수 없다는 것은 분명하다.

문제를 푸는 과정이 집을 짓는 것이라면 공식은 벽돌이나 마찬가지이다.

즉 공식이 문제풀이의 기본이라는 것이다.

  그래서, 다음과 같은 결론이 나온다.

  사회와 같은 암기과목을 공부할 때 많은 내용을 외우려고 노력할 것인데,

그 노력의 절반 정도면 수학 공식을 외우는 데 어려움이 없을 것이다.

그리고, 그 정도 노력으로 수학 공부는 이미 반 이상 한 것이 된다.

  스탕달이 수학자가 되었다면...

  여기서 이해를 돕고자 프랑스의 문호 스탕달이 수학을 싫어하게 된 에피소드를

소개해보도록 하겠다.
  스탕달은 한 때 수학에 매력을 느낀 적이 있었다. 그렇지만 ( - ) × ( - ) = ( + ) 가 되는

공식은 도저히 이해할 수 없었다고 한다. 양수 ( + )가 내가 갖고 있는 재산,

음수 ( - )가 내가 갚아야 하는 빚과 같은 것인데, 왜 빚과 빚이 곱해지면 재산이 되느냐는

생각에서 벗어날 수 없었다는 것이다.
  스탕달은 훗날, 그 때 그 공식을 이해 못해서 수학을 멀리하지만 않았으면

자신의 인생 항로가 달라졌을 지도 모른다고 말했다. 스탕달과 같은 경우, 이해가 안되면

그냥 외우고 넘어 갔으면 되는 것이었다. 어차피 음수란 존재하는 수가 아니고 개념이며,

개념에 대한 이해의 틀은 사람마다 다를 수 있어서, 공식 자체가 이해되지 않을 수도 있는

것이다.

  공식은 이해되지 않아도 일단 외워야 한다.

  자신의 이해의 틀로 공식이 완전히 이해되지 않아 자기 것이 되지 않는다면 일단 그냥

외우도록 한다.
  그 외우는 방법이 수학적이지 않더라도 말이다.

  스탕달은 그 공식을 이해하려고 애쓰기보다 “홀마짝뿔" (마이너스가 홀수 개이면 마이너스,

짝수 개이면 플러스)이란 말을 만들어 외웠으면 수학이 훨씬 쉬웠을 것이다.

  그러니 이해할 수 없으면 자신의 이해할 수 있는 틀로써 공식을 외우는 것이 중요하다.

  [4] 수학은 선행학습이 필요하다.

  수학은 다른 어떤 과목보다도 더 확실하게 현재 배우는 내용이 다음 학년에서 배우는

내용의 기초가 된다. 지금 배우는 내용이 어렵다고 생각되었다가도 다음 학년 내용을

배우고 나면 지금의 내용이 훨씬 쉽게 이해되는 것도 바로 이 때문이다.

  따라서, 다음에 배울 내용이 무엇인지 알고, 지금 배우는 내용이 다음에 어떻게 쓰이게

될 지 알게 되면 왜 배워야하는지도 분명해지고 내용 이해도 쉬워지는 것이 바로

수학공부의 특징이다.
  수학은 적어도 한 학기 정도의 선행학습이 필요하다.

  가능하다면 선행학습이 많을수록 좋은 것이 수학과목이다.

  하지만, “지난침은 항상 모자람보다도 못한 법”이다. 교과과정이란 것이 학년에 따른

지능 발달과정에 맞춘 것이니, 너무 욕심을 부려 이해를 못하면서 앞서가기만 하는 것은

헛고생에 불과할 것이다.
  그저 방학 기간을 이용하여 다음 학기 내용을 한 번쯤 공부하고 새 학기를 맞는다면,

충분히 자신감을 갖고 수학공부를 시작할 수 있을 것이다.

  [5] 용어의 뜻을 먼저 이해하면 쉬워진다.

  수와 수학은 인류문명이 있는 곳이면 어디나 존재해 왔고, 우리나라에서도 수학이

발달되어 왔지만, 오늘 날 우리가 배우는 수학은 서양에서 체계를 갖추고 발달한

서양 학문이다.

  서양 학문으로서의 수학이 우리나라에 들어오면서 용어들이 번역되었는데, 수학 공부를

할 때 용어들을 잘 이해하는 것이 수학을 쉽게 공부하는 첫 걸음이 된다.

  더구나 수학이라는 학문은 용어의 정의에서부터 시작되는 학문이다.

용어의 정의를 잘 이해하는 것이 수학 공부의 기본이기도 한 것이다.

  수학용어는 한자로 배운다.

  서양 수학은 일본과 중국을 거쳐 우리나라에 들어 왔기 때문에 용어를 배울 때

한자를 아는 것이 이해에 도움이 된다.
  몇 가지 예를 들면 다음과 같다.

유리수(有理數) - 이해(理) 가 있는(되는) 수
                        분수로 나타낼 수 있으므로 이해가 된다.
무리수(無理數) - 이해가 안되는 수

  한편, 한자어로 번역할 때 원래의 뜻이 정확하게 옮겨지지 않았거나 개념에 혼란을

줄 수도 있는 경우도 있어, 원어를 통해 정확한 의미를 파악할 필요가 있는 용어들도 있다.

방정식(方程式) - 미지수가 들어 있는 등식, 미지수의 값이 특정할 때만 참인 등식을 말한다.
                        원어는 Equation (같게 하기)
함수(函數) - 두 개체 또는 집합간의 관계를 말한다.
                  수(數)의 일종이 아니다.
                  원어는 Function (기능)

SQ3R이란 효과적으로 독서를 하기 위한 5가지 절차로

로빈슨(H. M. Robinson)이 제시한 방법이다. 

이것은 훑어보기(Survey), 질문하기(Quesstion),

자세히 읽기(Read), 되새기기(Recite),

다시보기(Review)'의 5단계이다.

각 단계 별 특징은 다음과 같다.

①훑어보기 단계 :

글을 읽기 전에 미리 내용을 생각해 보는 단계

* 글을 읽을 때 제목이나 소제목 등을 훑어보고

전체 내용을 짐작하기

* 도표나 사진 자료 등도 활용

예)소설 <엄마 찾아 삼만리>를 읽을 경우 소제목들을 살펴 보자.

아아, 우리 엄마, 다시 찾은 행복)

소제목만 보아도 전체 내용이 어떻게 전개될지 짐작할 수 있다.

②질문하기 단계 :

글의 제목이나 소제목 등을 질문으로 바꾸어

마음속에 간직하는 단계

예)중학교 1학년 교과서에 나오는 소설 <소나기>를 읽으면서

다음과 같은 문답이 떠오르지 않을까?.

왜 제목이 소나기일까?

기상 관측에 관한 과학소설도 아닌데,

아아 주인공들이 소나기를 맞는구나.

그렇지만 하필이면 <소나기>인가?

그래 소나기는 갑자기 쏟아지다가 금새 멈추는 비이지.

소년과 소녀의 사랑이 그런 것이구나.

소년과 소녀가 처음 만든

<징검다리>가 상징하는 것은 무엇일까?

사랑의 과정이 아닐까?

소년이 소녀에게 건낸 <마타하리 꽃>은 어떤 것일까?

보라색이라구?

그건 꿈과 죽음을 상징하는 색인데,

그래서 소녀가 마지막에….

③자세히 읽기 단계 :

처음부터 차분하게 읽어가면서

그 내용을 하나하나 확인하는 단계

예)<징검다리>는 만남의 의미는 있지만,

소녀의 죽음을 상징하지는 못해.

<마타하리 꽃>은 보라색이지.

보라색은 꿈을 상징하면서도 죽음의 색이기도 해.

그렇구나. 만남은 징검다리, 죽음은 마타라히 꽃.  

그런데 징검다리와 마타하리 꽃은

소년과 소녀의 순수한 사랑을 상징하지는 않잖아.

그걸 상징하는 것은 소나기일까?

소나기가 왜? 

가만있자, <소나기>란 세차게 내리지만 금새 그치는 비지.

즉, 구질구질하거나 청승맞지 않고…

녀에 대한 소년의 사랑이 순수하고 간절하긴 했지만

금새 끝났지.

마치 한여름의 소나기처럼….

④되새기기 단계 :

지금까지 읽은 내용을 요약하고 정리하는 단계.

*글이 여러 개의 소제목으로 나뉘어져 있으면,

그 소제목별로

<훑어보기, 질문하기, 자세히 읽기, 되새기기>의 과정을

밟을 수도 있고,

모두 읽고 그 과정을 밝을 수도 있음.

⑤다시 보기 단계 :

지금까지 읽은 모든 내용을 살펴보고,

전체 내용을 정리하는 단계.

*책장을 덮고 책의 내용을 음미해 본다.

그리고 작가의 입장에서 내용을 점검해보고, 

  내가 고쳐보기도 하고